Eu lutei em busca de uma função simples para mover médias que tinha alguma flexibilidade para fazer o que eu precisava Eu finalmente escrevi um par de funções estendendo a função baseada em um filtro que rinni dá acima no comentário, mas que não ganha trabalho porque ele irá incluir A observação atual na média de 3 períodos. Função de média móvel que inclui a observação atual. Função de média de muda que não inclui a observação atual. Função de média móvel procurando, não incluindo obs actual, com base nas leituras de h2 começando h1 períodos back. answered Aug 24 16 at 2 25.Sua Resposta.2017 Stack Exchange, Inc. Moving Médias em R. Para o melhor do meu conhecimento, R não tem uma função interna para calcular médias móveis Usando a função de filtro, no entanto, podemos Escreva uma função curta para médias móveis. Podemos então usar a função em qualquer dado mav dados, ou dados mav, 11 se quisermos especificar um número diferente de pontos de dados do que o padrão 5 trabalhos de plotagem Como dados de mav esperados de plotagem. Além do número de pontos de dados sobre o qual a média, também podemos mudar o argumento de lados das funções de filtro lados 2 usa ambos os lados, lados 1 usa valores passados only. Post navegação navegação navigation. Using R Para Time Series Analysis. Time Series Analysis. Este livreto itells você como usar o software estatístico R para realizar algumas análises simples que são comuns na análise de dados de séries temporais. Este livreto pressupõe que o leitor tem algum conhecimento básico de análise de séries temporais, E o foco principal do livreto não é explicar a análise de séries temporais, mas sim explicar como realizar essas análises usando R. Se você é novo na análise de séries temporais e quer saber mais sobre qualquer um dos conceitos apresentados aqui, Eu recomendaria altamente o código aberto do código da série da série do tempo da biblioteca da Open University M249 02, disponível da loja da universidade aberta. Neste folheto, eu estarei usando jogos da série da série de tempo que foram gentilmente feitos availa Por Rob Hyndman em sua biblioteca de dados da série de tempo at. If que você gosta deste livreto, você pode também gostar de verificar para fora meu livreto em usar R para statistics biomedical, e meu livreto em usar R para a análise multivariada. A primeira coisa que você vai querer fazer para analisar seus dados de série de tempo será para lê-lo em R, e para traçar a série de tempo Você pode ler dados em R usando a função de varredura, que assume que seus dados para pontos de tempo sucessivos está em Um arquivo de texto simples com uma coluna. Por exemplo, o arquivo contém dados sobre a idade de morte dos sucessivos reis da Inglaterra, começando com William o Conquistador fonte original Hipel e Mcleod, 1994. O conjunto de dados se parece com isto. Only os primeiros poucos As linhas do arquivo foram mostradas As três primeiras linhas contêm algum comentário sobre os dados, e nós queremos ignorar isso quando lemos os dados em R Podemos usar isso usando o parâmetro skip da função scan, que especifica quantas linhas Na parte superior do arquivo para ignorar Para ler o arquivo em R, ignorando as três primeiras linhas, digite. Neste caso, a idade de morte de 42 reis sucessivos da Inglaterra foi lido na variável reis. Uma vez que você leu os dados da série de tempo em R, o próximo Passo é armazenar os dados em um objeto de série de tempo em R, para que você possa usar R muitas funções para analisar dados de séries temporais Para armazenar os dados em um objeto de série temporal, usamos a função ts em R Por exemplo, para armazenar Os dados na variável kings como um objeto de série temporal em R, nós tipo. Às vezes o conjunto de dados de séries temporais que você tem pode ter sido coletado em intervalos regulares que foram menos de um ano, por exemplo, mensal ou trimestral Neste caso, Você pode especificar o número de vezes que os dados foram coletados por ano usando o parâmetro de freqüência na função ts. Para dados de séries temporais mensais, você define a freqüência 12, enquanto que para dados de séries temporais trimestrais, você define a freqüência 4. Você também pode especificar a Primeiro ano em que os dados foram coletados, e os Por exemplo, se o primeiro ponto de dados corresponde ao segundo trimestre de 1986, você iria definir start c 1986,2. Um exemplo é um conjunto de dados do número de nascimentos por Mês em New York City, de janeiro de 1946 a dezembro de 1959 originalmente coletados por Newton Estes dados estão disponíveis no arquivo Podemos ler os dados em R, e armazená-lo como um objeto de série de tempo, digitando. Por igual, o arquivo contém vendas mensais Para uma loja de souvenirs em uma cidade de resort de praia em Queensland, Austrália, para janeiro de 1987 a dezembro de 1993 dados originais de Wheelwright e Hyndman, 1998 Podemos ler os dados em R escrevendo. Plotting Time Series. Uma vez que você leu uma série de tempo em R, o próximo passo é geralmente fazer um gráfico dos dados de séries temporais, que você pode fazer com a função em R. Por exemplo, para traçar a série de tempo da idade de morte de 42 reis sucessivos da Inglaterra, que tipo. Podemos ver a partir do gráfico de tempo que esta série de tempo provavelmente poderia ser descr Ibed usando um modelo aditivo, uma vez que as flutuações aleatórias nos dados são praticamente constante em tamanho ao longo do tempo. Também, para traçar a série de tempo do número de nascimentos por mês em Nova York, nós type. We pode ver a partir desta série de tempo Que parece haver uma variação sazonal no número de nascimentos por mês há um pico a cada verão e uma depressão a cada inverno Novamente, parece que esta série temporal poderia provavelmente ser descrita usando um modelo aditivo, como as flutuações sazonais são praticamente constantes Em tamanho ao longo do tempo e não parecem depender do nível da série de tempo, e as flutuações aleatórias também parecem ser aproximadamente constante em tamanho ao longo do tempo. Similarmente, traçar a série de tempo das vendas mensais para a loja de souvenirs em um Cidade de praia em Queensland, Austrália, nós tipo. Neste caso, parece que um modelo aditivo não é apropriado para descrever esta série de tempo, uma vez que o tamanho das flutuações sazonais e flutuações aleatórias parecem aumentar com o leve L da série temporal Assim, podemos precisar transformar as séries temporais para obter uma série temporal transformada que pode ser descrita usando um modelo aditivo. Por exemplo, podemos transformar a série temporal calculando o log natural dos dados originais. Aqui podemos ver que o tamanho das flutuações sazonais e as flutuações aleatórias na série de tempo log-transformada parecem ser aproximadamente constantes ao longo do tempo, e não dependem do nível das séries temporais. Assim, a série temporal log-transformada pode provavelmente Ser descrita usando um modelo aditivo. Decomposição de séries temporais. Decompondo uma série de tempo significa separá-lo em seus componentes constituintes, que são geralmente uma componente de tendência e uma componente irregular, e se é uma série temporal sazonal, uma componente seasonal. Decomposing Non - Dados sazonais. Uma série temporal não-sazonal consiste em uma componente de tendência e um componente irregular. A descomposição da série temporal envolve a tentativa de separar a série temporal nestes componentes, isto é, estimati Para estimar a componente de tendência de uma série temporal não sazonal que pode ser descrita utilizando um modelo aditivo, é comum utilizar um método de suavização, tal como calcular a média móvel simples do tempo A função SMA no pacote TTR R pode ser usada para suavizar dados de séries temporais usando uma média móvel simples. Para usar esta função, primeiro precisamos instalar o pacote TTR R para obter instruções sobre como instalar um pacote R, Instale um pacote R Depois de ter instalado o pacote TTR R, você pode carregar o pacote TTR R digitando. Você pode então usar a função SMA para suavizar dados de séries temporais Para usar a função SMA, você precisa especificar o período de ordem do Por exemplo, para calcular uma média móvel simples de ordem 5, definimos n 5 na função SMA. Por exemplo, como discutido acima, as séries temporais da idade de morte de 42 reis sucessivos de Inglaterra aparece não é sazonal, E pode provavelmente ser descrita usando um modelo aditivo, desde que as flutuações aleatórias nos dados são aproximadamente constantes no tamanho ao longo do tempo. Assim, nós podemos tentar estimar o componente da tendência desta série de tempo alisando usando uma média movente simples Para suavizar o tempo Série usando uma média móvel simples de ordem 3, e traçar os dados de série de tempo suavizado, nós tipo. Ainda parece haver um monte de flutuações aleatórias na série de tempo suavizada usando uma média móvel simples de ordem 3 Assim, para estimar a Com mais precisão, poderemos tentar suavizar os dados com uma média móvel simples de uma ordem mais alta. Isso leva um pouco de tentativa e erro, para encontrar a quantidade certa de suavização. Por exemplo, podemos tentar usar um método simples Média móvel de ordem 8. Os dados alisados com uma média móvel simples de ordem 8 dão uma imagem mais clara da componente de tendência e podemos ver que a idade de morte dos reis ingleses parece ter diminuído de cerca de 55 anos para ab Out 38 anos durante o reinado dos primeiros 20 reis e, em seguida, aumentou depois que a cerca de 73 anos de idade até o final do reinado do rei 40 na série de tempo. Decompondo Dados Sazonais. Uma série temporal sazonal consiste em uma tendência Componente sazonal e componente irregular A descomposição das séries temporais significa a separação das séries temporais nestas três componentes, ou seja, a estimativa desses três componentes. Estimar a componente tendencial ea componente sazonal de uma série temporal sazonal que pode ser descrita utilizando um aditivo Modelo, podemos usar a função decomposição em R Esta função estima a tendência, sazonal e componentes irregulares de uma série de tempo que pode ser descrito usando um modelo aditivo. A função decompose retorna um objeto de lista como seu resultado, onde as estimativas do Componente sazonal, componente de tendência e componente irregular são armazenados em elementos nomeados daquela lista objetos, chamados sazonais, tendência e aleatória respectivamente. Por exemplo, como discutimos A série temporal do número de nascimentos por mês na cidade de Nova York é sazonal, com um pico a cada verão e vale cada inverno, e pode provavelmente ser descrita usando um modelo aditivo, uma vez que as flutuações sazonais e aleatórias parecem ser praticamente constantes em O tamanho ao longo do tempo. Para estimar a tendência, os componentes sazonais e irregulares desta série temporal, nós tipo. Os valores estimados da sazonalidade, tendência e componentes irregulares são agora armazenados em variáveis birthstimeseriescomponents sazonal, birthstimeseriescomponents tendência e birthstimeseriescomponents aleatória Por exemplo, podemos Imprimir os valores estimados da componente sazonal por tipagem. Os factores sazonais estimados são dados para os meses de Janeiro a Dezembro, e são os mesmos para cada ano. O maior factor sazonal é para Julho, cerca de 1 46, eo mais baixo é para Fevereiro, cerca de -2 08, indicando que parece haver um pico de nascimentos em julho e uma depressão em nascimentos em fevereiro de cada ano. Nós podemos traçar a tendência estimada, Sazonais e irregulares da série de tempo, usando a função de enredo, por exemplo. O gráfico acima mostra a série de tempo original top, a componente de tendência estimada segundo a partir do topo, a componente sazonal estimada terceira a partir do topo eo componente irregular estimado inferior Vemos que a componente de tendência estimada mostra uma pequena diminuição de cerca de 24 em 1947 para cerca de 22 em 1948, seguido por um aumento constante de então para cerca de 27 em 1959. Ajustamento sazonal. Se você tem uma série temporal sazonal que pode ser descrita Usando um modelo aditivo, você pode ajustar sazonalmente a série de tempo estimando a componente sazonal e subtraindo a componente sazonal estimada da série de tempo original. Podemos fazer isso usando a estimativa da componente sazonal calculada pela função decompor. Por exemplo, para Sazonalmente ajustar a série de tempo do número de nascimentos por mês em Nova York, podemos estimar o componente sazonal usando decompor e, em seguida, subtrair a Sazonal da série de tempo original. Podemos então traçar a série de tempo ajustada sazonalmente usando a função de enredo, digitando. Você pode ver que a variação sazonal foi removida da série de tempo ajustada sazonalmente. Componente de tendência e um componente irregular. Previsões usando suavização exponencial. Suavização exponencial pode ser usado para fazer previsões de curto prazo para dados de séries temporais. Simpon Exponencial Smoothing. Se você tiver uma série de tempo que pode ser descrito usando um modelo aditivo com nível constante e Sem sazonalidade, você pode usar suavização exponencial simples para fazer previsões de curto prazo. O método de suavização exponencial simples fornece uma maneira de estimar o nível no ponto de tempo atual Suavização é controlada pelo parâmetro alfa para a estimativa do nível na hora atual Ponto O valor de alfa está entre 0 e 1 Valores de alfa que estão perto de 0 significam que pouco peso é colocado na maior parte Por exemplo, o arquivo contém precipitação total anual em polegadas para Londres, a partir de 1813-1912 dados originais de Hipel e McLeod, 1994 Nós podemos ler os dados em R e plotá-los digitando. Você pode Ver a partir do gráfico que existe um nível praticamente constante a média permanece constante em cerca de 25 polegadas As flutuações aleatórias na série temporal parecem ser aproximadamente constante em tamanho ao longo do tempo, por isso é provavelmente apropriado para descrever os dados usando um modelo aditivo Assim, Podemos fazer previsões usando a suavização exponencial simples. Para fazer previsões usando a suavização exponencial simples em R, podemos ajustar um modelo preditivo de suavização exponencial simples usando a função HoltWinters em R Para usar HoltWinters para suavização exponencial simples, precisamos definir os parâmetros beta FALSE E gama FALSE na função HoltWinters os parâmetros beta e gama são usados para suavização exponencial de Holt, ou suavização exponencial de Holt-Winters, conforme descrito abaixo. A função HoltWinters retorna uma variável de lista, que contém vários elementos nomeados. Por exemplo, para usar suavização exponencial simples para fazer previsões para a série de tempo de precipitação anual em Londres, nós tipo. A saída de HoltWinters nos diz que o valor estimado do alfa É aproximadamente 0 024 Isto é muito próximo de zero, dizendo-nos que as previsões são baseadas em observações recentes e menos recentes, embora um pouco mais peso é colocado em observações recentes. Por padrão, HoltWinters apenas faz previsões para o mesmo período coberto por Nossa série de tempo original Neste caso, nossa série de tempo originais incluiu a precipitação para Londres de 1813-1912, assim que as previsões são também para 1813-1912. No exemplo acima, nós armazenamos a saída da função de HoltWinters na variável da lista rainseriesforecasts As previsões feitas por HoltWinters são armazenadas em um elemento nomeado desta variável de lista chamado equipado, para que possamos obter os seus valores, digitando. Nós podemos traçar o tempo original se O gráfico mostra a série de tempo original em preto e as previsões como uma linha vermelha. A série de previsões de tempo é muito mais suave do que a série de tempo dos dados originais here. As uma medida da precisão do As previsões, podemos calcular a soma de erros quadrados para os erros de previsão na amostra, isto é, os erros de previsão para o período de tempo coberto por nossa série de tempo original. A soma de quadrado de erros é armazenada em um elemento nomeado do Lista variável rainseriesfornes previsões chamado SSE, para que possamos obter o seu valor, digitando. Isto é, aqui a soma de quadrados-erros é 1828 855. É comum em suavização exponencial simples para usar o primeiro valor na série temporal como a inicial Valor para o nível Por exemplo, na série de tempo para a precipitação em Londres, o primeiro valor é 23 56 polegadas para a precipitação em 1813 Você pode especificar o valor inicial para o nível na função HoltWinters usando o parâmetro Por exemplo, para fazer previsões Com o valor inicial Do nível ajustado a 23 56, nós datilografamos. Como explicado acima, por defeito HoltWinters apenas faz previsões para o período de tempo coberto pelos dados originais, que é 1813-1912 para a série de tempo de precipitação Eu posso fazer previsões para pontos de tempo adicionais por Usando a função no pacote de previsões R Para usar a função, primeiro precisamos instalar o pacote de previsão R para obter instruções sobre como instalar um pacote R, consulte Como instalar um pacote R. Uma vez que você instalou o pacote de previsão R, você Pode carregar o pacote R da previsão escrevendo. Ao usar a função, como entrada do primeiro argumento, você passa o modelo preditivo que você já montou usando a função HoltWinters. Por exemplo, no caso da série temporal de precipitação, Modelo preditivo feito usando HoltWinters na série de previsões de chuva variável Você especifica quantos pontos de tempo adicionais você deseja fazer previsões usando o parâmetro h em Por exemplo, para fazer uma previsão de precipitação para os anos 1814-1820 8 meses Por exemplo, a precipitação prevista para 1920 é de cerca de 24 68 polegadas, com uma previsão de 95 para a previsão de previsão, Intervalo de 16 24, 33 11.Para plotar as previsões feitas por nós podemos usar a função. Aqui as previsões para 1913-1920 são traçadas como uma linha azul, o intervalo de previsão de 80 como uma área sombreada laranja eo intervalo de previsão de 95 como Uma área sombreada amarela. Os erros de previsão são calculados como os valores observados menos os valores previstos, para cada ponto de tempo Nós só podemos calcular os erros de previsão para o período de tempo coberto por nossa série temporal original, que é 1813-1912 para os dados de precipitação como Mencionada acima, uma medida da precisão do modelo preditivo é a soma de quadrado de erros SSE para os erros de previsão na amostra. Os erros de previsão na amostra são armazenados nos resíduos de elementos nomeados da variável de lista retornada por If A previsão Em outras palavras, se houver correlações entre erros de previsão para previsões sucessivas, é provável que as previsões de suavização exponencial simples possam ser melhoradas por outra técnica de previsão . Para descobrir se esse é o caso, podemos obter um correlograma dos erros de previsão na amostra para os retornos 1-20 Podemos calcular um correlograma dos erros de previsão usando a função acf em R Para especificar o atraso máximo que queremos Para olhar, usamos o parâmetro em acf. Por exemplo, para calcular um correlograma dos erros de previsão na amostra para os dados de precipitação de Londres para os retornos 1-20, digitemos. Você pode ver a partir do correlograma de amostra que a autocorrelação em O atraso 3 está apenas tocando os limites de significação Para testar se há evidência significativa de correlações não nulas nos intervalos de 1 a 20, podemos realizar um teste de Ljung-Box Isso pode ser feito em R usando o, O atraso máximo que queremos observar é especificado usando o parâmetro lag na função. Por exemplo, para testar se há autocorrelações não nulas nos intervalos de 1 a 20, para os erros de previsão na amostra para os dados de precipitação de Londres, Neste caso, a estatística de teste de Ljung-Box é 17 4 eo valor de p é 0 6, portanto há pouca evidência de autocorrelações não nulas nos erros de previsão na amostra nos intervalos 1-20. O modelo preditivo não pode ser melhorado, é também uma boa idéia para verificar se os erros de previsão são normalmente distribuídos com variância média zero e constante Para verificar se os erros de previsão têm variância constante, podemos fazer um gráfico de tempo da previsão na amostra O gráfico mostra que os erros de previsão na amostra parecem ter variação aproximadamente constante ao longo do tempo, embora o tamanho das flutuações no início da série de tempo 1820-1830 possa ser ligeiramente menor do que em datas posteriores eg 1840-1850.Para verificar se os erros de previsão são Normalmente distribuídos com média zero, podemos traçar um histograma dos erros de previsão, com uma curva normal sobreposta que tem média zero eo mesmo desvio padrão que a distribuição de erros de previsão. Para fazer isso, podemos definir uma função R plotForecastErrors, abaixo. Você terá que copiar a função acima em R para usá-la. Você pode então usar plotForecastErrors para plotar um histograma com curva normal sobreposta dos erros de previsão para as previsões de precipitação. O gráfico mostra que a distribuição de erros de previsão é grosseiramente centrada em Zero, e é mais ou menos normalmente distribuído, embora pareça ser ligeiramente inclinado para a direita em comparação com uma curva normal. No entanto, a inclinação direita é relativamente pequena, e por isso é plausível que os erros de previsão são normalmente distribuídos com zero médio. O teste de Ljung-Box mostrou que há pouca evidência de autocorrelações não nulas nos erros de previsão na amostra, ea distribuição dos erros de previsão parece ser normalmente distri O que sugere que o método de suavização exponencial simples fornece um modelo preditivo adequado para a precipitação de Londres, o que provavelmente não pode ser melhorado. Além disso, os pressupostos de que os intervalos de previsões 80 e 95 foram baseados em que não há autocorrelações nos erros de previsão , E os erros de previsão são normalmente distribuídos com média zero e variância constante são provavelmente válidos. Holt s suavização exponencial. Se você tem uma série de tempo que pode ser descrito usando um modelo aditivo com tendência crescente ou decrescente e sem sazonalidade, você pode usar Holt S suavização exponencial para fazer previsões de curto prazo. A suavização exponencial de Holes estimar o nível ea inclinação no ponto de tempo atual A suavização é controlada por dois parâmetros, alfa, para a estimativa do nível no ponto de tempo atual e beta para a estimativa Da inclinação b da componente de tendência no ponto de tempo actual Tal como com a suavização exponencial simples, os parâmetros alfa e b Eta têm valores entre 0 e 1 e valores próximos de 0 significam que pouco peso é colocado nas observações mais recentes ao fazer previsões de valores futuros. Um exemplo de uma série de tempo que pode provavelmente ser descrita usando um modelo aditivo com um Tendência e nenhuma sazonalidade é a série de tempo do diâmetro anual das saias das mulheres na bainha, de 1866 a 1911 Os dados estão disponíveis no arquivo de dados originais de Hipel e McLeod, 1994. Podemos ler e traçar os dados em R Pela tipografia. Podemos ver a partir da trama que houve um aumento no diâmetro da bainha de cerca de 600 em 1866 para cerca de 1050 em 1880, e que depois o diâmetro hem diminuiu para cerca de 520 em 1911.Para fazer previsões, podemos ajustar um preditivo Usando a função HoltWinters em R Para usar HoltWinters para suavização exponencial de Holt, precisamos definir o parâmetro gama FALSE, o parâmetro gama é usado para a suavização exponencial de Holt-Winters, conforme descrito abaixo. Por exemplo, para usar a suavização exponencial de Holt para Fi Um modelo preditivo para o diâmetro da bainha da saia. O valor estimado de alfa é 0 84 e de beta é 1 00 Estes são ambos altos, indicando que tanto a estimativa do valor atual do nível e da inclinação b Da componente de tendência, baseiam-se sobretudo em observações muito recentes na série de tempo. Isto faz um bom sentido intuitivo, uma vez que o nível ea inclinação das séries temporais mudam bastante ao longo do tempo. O valor da soma dos erros quadrados Para os erros de previsão na amostra é 16954. Podemos traçar a série de tempo original como uma linha preta, com os valores previstos como uma linha vermelha em cima disso, digitando. Podemos ver a partir da imagem que as previsões na amostra Concordam muito bem com os valores observados, embora eles tendam a ficar aquém dos valores observados um pouco. Se desejar, você pode especificar os valores iniciais do nível e da inclinação b do componente de tendência usando os argumentos e para o HoltWinters Função É comum definir o valor inicial do lev El para o primeiro valor na série de tempo 608 para os dados de saias e o valor inicial da inclinação para o segundo valor menos o primeiro valor 9 para os dados de saias Por exemplo, para ajustar um modelo preditivo aos dados de bainha de saia usando Holt Com valores iniciais de 608 para o nível e 9 para a inclinação b da componente de tendência. Para a suavização exponencial simples, podemos fazer previsões para tempos futuros não cobertos pela série temporal original, utilizando a função No pacote de previsão Por exemplo, nossos dados de série de tempo para hems de saia foi de 1866 a 1911, para que possamos fazer previsões para 1912 a 1930 19 pontos de dados, e plotá-los, digitando. As previsões são mostradas como uma linha azul, Com os 80 intervalos de predição como uma área sombreada laranja e os 95 intervalos de predição como uma área sombreada amarela. Como para alisamento exponencial simples, podemos verificar se o modelo preditivo pode ser melhorado verificando se os erros de previsão na amostra mostram não - Z e Ro autocorrelações nos intervalos 1-20 Por exemplo, para os dados da bainha da saia, podemos fazer um correlograma e realizar o teste de Ljung-Box, digitando. Aqui o correlograma mostra que a autocorrelação da amostra para os erros de previsão na amostra em O lag 5 excede os limites de significância. No entanto, espera-se que uma em 20 autocorrelações para os vinte primeiros atrasos exceda os 95 limites de significância por acaso sozinho. De fato, quando realizamos o teste de Ljung-Box, o valor de p é 0 47 , Indicando que existe pouca evidência de autocorrelações não nulas nos erros de previsão na amostra nos intervalos 1-20. Como para a suavização exponencial simples, também devemos verificar se os erros de previsão têm variância constante ao longo do tempo e são normalmente distribuídos com Mean zero Podemos fazer isso fazendo um gráfico de tempo de erros de previsão, e um histograma da distribuição de erros de previsão com uma curva normal sobreposta. O gráfico de tempo de erros de previsão mostra que os erros de previsão têm variação aproximadamente constante sobre t Ime O histograma dos erros de previsão mostra que é plausível que os erros de previsão sejam normalmente distribuídos com média zero e variância constante. Assim, o teste de Ljung-Box mostra que há pouca evidência de autocorrelações nos erros de previsão, enquanto o gráfico de tempo e O histograma dos erros de previsão mostra que é plausível que os erros de previsão sejam normalmente distribuídos com variância média zero e constante. Portanto, podemos concluir que a suavização exponencial de Holt fornece um modelo preditivo adequado para diâmetros de bainha de saia que provavelmente não podem ser melhorados. , Isso significa que as suposições de que os intervalos de previsões de 80 e 95 foram baseadas são provavelmente válidas. Se você tiver uma série de tempo que pode ser descrita usando um modelo aditivo com tendência crescente ou decrescente e sazonalidade, você pode Use Holt-Winters suavização exponencial para fazer previsões de curto prazo. Holt-Winters suavização exponencial estima o nível, inclinação E a componente sazonal no ponto de tempo atual A suavização é controlada por três parâmetros alfa, beta e gama, para as estimativas do nível, inclinação b da componente de tendência e a componente sazonal, respectivamente, no momento actual Os parâmetros alfa , Beta e gama têm valores entre 0 e 1 e valores próximos de 0 significam que relativamente pouco peso é colocado nas observações mais recentes ao fazer previsões de valores futuros. Um exemplo de uma série temporal que provavelmente pode ser descrita usando Um modelo aditivo com uma tendência e sazonalidade é a série de tempo do log de vendas mensais para a loja de souvenirs em uma cidade de resort de praia em Queensland, Austrália discutido acima. Para fazer previsões, podemos ajustar um modelo preditivo usando a função HoltWinters Por exemplo , Para ajustar um modelo preditivo para o registro das vendas mensais na loja de lembranças, nós tipo. Os valores estimados de alfa, beta e gama são 0 41, 0 00 e 0 96, respectivamente O valor de alfa 0 41 é relativamente baixa, indicando que a estimativa do nível no momento atual baseia-se em observações recentes e em algumas observações no passado mais distante O valor de beta é 0 00, indicando que a estimativa da inclinação b da tendência Componente não é atualizado ao longo da série de tempo e, em vez disso é definido igual ao seu valor inicial Isso faz um bom sentido intuitivo, como o nível muda um pouco ao longo da série de tempo, mas a inclinação b do componente tendência permanece praticamente o mesmo Em contraste , O valor de gama 0 96 é alto, indicando que a estimativa da componente sazonal no ponto de tempo atual é apenas baseada em observações muito recentes. Como para a suavização exponencial simples e a suavização exponencial de Holt, podemos traçar a série temporal original como Uma linha preta, com os valores previstos como uma linha vermelha em cima de that. We ver a partir da trama que o Holt-Winters método exponencial é muito bem sucedido na previsão dos picos sazonais, que ocorrem aproximadamente em Novemb Por exemplo, os dados originais para as vendas de lembranças são de janeiro de 1987 a dezembro de 1993. Se quiséssemos fazer previsões para os próximos anos, Janeiro 1994 a dezembro 1998 48 meses mais, e traçar as previsões, nós tipo. As previsões são mostradas como uma linha azul, e as áreas alaranjadas e amarelas sombreadas mostram 80 e 95 intervalos de previsão, respectivamente. Podemos investigar se o modelo preditivo Pode ser melhorado verificando se os erros de previsão na amostra mostram autocorrelações não nulas nos intervalos de 1 a 20, fazendo um correlograma e realizando o teste de Ljung-Box. O correlograma mostra que as autocorrelações para os erros de previsão na amostra Além disso, o valor de p para o teste de Ljung-Box é 0 6, indicando que há pouca evidência de autocorrelações não nulas nos intervalos 1-20. Podemos verificar se o foreca Os st erros têm variância constante ao longo do tempo e são normalmente distribuídos com média zero, fazendo um gráfico de tempo dos erros de previsão e um histograma com curva normal sobreposta. A partir do gráfico de tempo, parece plausível que os erros de previsão tenham variância constante ao longo do tempo A partir do histograma de erros de previsão, parece plausível que os erros de previsão sejam normalmente distribuídos com média zero. Assim, há pouca evidência de autocorrelação nos retornos 1-20 para os erros de previsão e os erros de previsão parecem ser normalmente distribuídos com a média zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to ob tain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance o f the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of first differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the a cf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environ ment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autoco rrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since t he autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an autoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - m u Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, th an an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of th e 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evi dence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. E xample of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Tha nk you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk.
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